Dedicatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
- Espacio muestral ............................................................. 21
- Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
- Definición clásica de probabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
- Definición axiomática de probabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
- Probabilidad de la unión de sucesos ............................. 24
- Probabilidad de eventos independientes ........................ 24
- Probabilidad condicional ............................................... 24
- Período de retorno (T). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
- Concepto de riesgo (R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
- Cálculo de la probabilidad empírica o experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
- Variables aleatorias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
- Clases de variables aleatorias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
- Distribuciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
- Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria discreta....................................36
- Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua..................................37
- Función de distribución acumulada.......................... 39
- Función de distribución acumulada correspondiente a una distribución discreta...............40
- Función de distribución acumulada correspondiente a una distribución continua........... 41
- Valor esperado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
- Propiedades del valor esperado................................ 48
- Momentos de una distribución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
- Momento respecto al origen................................... .. 49
- Momento central con respecto a la media................. 50
- Media de una distribución.........................................50
- Mediana.....................................................................51
- Moda................................................................ ......... 51
- Varianza de una distribución.....................................52
- Coeficiente de variación............................................52
- Sesgo de una distribución...................................... ... 52
- Curtosis............................................................. ........ 53
- Transformación lineal de las variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
- Problemas propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Distribución de frecuencias de una muestra .......................................................................................... 73
- Representación tabular y gráfica de las muestras ............ 75
- Procedimiento de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
- Procedimiento ........................................................... 76
- Representación gráfica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
- Histograma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
- Polígono de frecuencia..............................................85
- Función de densidad de probabilidad empírica.........86
- Función de distribución acumulada o empírica.........87
- Problemas propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
- Medidas de las distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
- Medidas descriptivas de las
- distribuciones de frecuencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
- Medida de tendencia central o medidas de localización ........................................... 93
- Medidas de dispersión .............................................. 94
- Medidas de simetría y asimetría ............................... 94
- Medidas de achatamiento o curtosis ......................... 95
- Medidas de tendencia central .......................................... 96
- La media aritmética ................................................. 96
- La media ponderada ................................................. 97
- La media geométrica ................................................ 97
- La mediana ............................................................... 99
- La moda ................................................................. 101
- Comparación entre la media, la mediana y la moda... ........................................... 101
- Medidas de dispersión ................................................... 102
- Rango. .................................................................... 102
- Varianza........................................................... ....... 103
- Desviación estándar............................................ .... 105
- Coeficiente de variación ......................................... 107
- Medida de simetría y asimetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
- Sesgo ...................................................................... 107
- Medida de achatamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
- Curtosis........................................................... ........ 109
- Momentos lineales (L-moments). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
- Introducción ........................................................... 116
- Método tradicional ................................................. 117
- Definición de los momentos lineales....................... 119
- Estimado directo de los momentos lineales.............120
- Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Estimación de parámetro ...................................................................................... 135
- Definición de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
- Definición de estimadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
- Métodos de estimación de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
- Método gráfico ....................................................... 139
- Método de mínimos cuadrados .............................. 144
- Método de los momentos ....................................... 146
- Método de máxima verosimilitud........................... 158
- Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Pruebas de bondad de ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
- Definición. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
- Ajuste gráfico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
- Prueba Chi-cuadrado (χ2 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
- Criterio de decisión. ............................................... 172
- Ventajas y limitaciones........................................ ... 173
- Prueba de Smirnov-Kolmogorov............................ 178
- Ventajas y limitaciones........................................ ... 182
- Problemas propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Distribuciones teóricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
- Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
- Distribución normal o gaussiana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
- Función densidad............................................... ..... 195
- Función de distribución acumulada (FDA)............. 197
- Cálculo de la función de distribución acumulada... 198
- Cálculo de la inversa de la distribución normal estándar...................................199
- Estimación de parámetros, métodos de momentos y máxima verosimilitud............................................................200
- Estimación de parámetros, método de los momentos lineales........................... 200
- Aplicaciones en hidrología................................... .. 201
- Ajuste ..................................................................... 201
- Distribución log-normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
- Distribución log-normal de 2 parámetros............... 207
- Distribución log-normal de 3 parámetros................ 215
- Distribución gamma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
- Distribución gamma de dos parámetros.................. 225
- Distribución gamma de 3 parámetros o Pearson tipo III ....................................................... 229
- Distribución log-Pearson tipo III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
- Función densidad............................................... ..... 236
- Proceso de cálculo. ................................................. 237
- Estimación de parámetros, método de momentos... 237
- Estimación de parámetros, método de momentos lineales................................ 238
- Función acumulada ................................................ 239
- Distribución Gumbel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
- Función acumulada. ............................................... 244
- Función densidad............................................... ..... 245
- Estimación de parámetros, método de momentos... 246
- Estimación de parámetros, método de momentos lineales ................................ 247
- Aplicación en hidrología ........................................ 247
- Distribución log-Gumbel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
- Función acumulada ................................................ 250
- Variable reducida................................................ .... 251
- Proceso de cálculo.............................................. .... 251
- Estimación de parámetros, método de momentos... 251
- Estimación de parámetros, método de momentos lineales ............................... 252
- Problemas propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Correlación y regresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
- Covarianza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
- Correlación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
- Medidas de correlación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
- Análisis de correlación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
- Coeficiente de correlación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
- Coeficiente de determinación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
- Análisis de regresión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
- Pasos para el análisis de regresión.......................... 266
- Regresión lineal simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
- Ecuación de regresión. ........................................... 269
- Estimación de parámetros ...................................... 269
- Proceso computacional........................................ ... 275
- Regresión no lineal simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
- Proceso computacional........................................ ... 280
- Ecuación de regresión lineal múltiple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
- Estimación de parámetros. ..................................... 281
- Error estándar del estimado para regresión múltiple (Se)..................................................... ...... 282
- Coeficiente de determinación múltiple................... 283
- Coeficiente de correlación múltiple.........................284
- Proceso computacional........................................ ... 291
- Ecuación de regresión no lineal múltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
- Proceso computacional........................................ ... 293
- Ecuación de regresión polinomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
- Problemas propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
Análisis de consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
- Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
- Análisis visual gráfico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
- Análisis doble masa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
- Análisis estadístico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
- Análisis de saltos............................................... ..... 312
- Análisis de tendencias. ........................................... 316
- Problemas propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
- Análisis de saltos. ................................................... 325
- Análisis de tendencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
Completación y extensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
- Definiciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
- Técnicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
- Proceso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
- Criterios para mejorar losestimados de los parámetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
- Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
Generación de números aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
- Generación de números aleatorios uniformemente distribuidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
- Generación de números aleatorios normales independientes. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
- Procedimiento del límite central ........................... 352
- Procedimiento rápido ............................................. 353
- Procedimiento directo ............................................ 353
- Generación de números aleatorios log-normales independientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
- Problemas propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
Intervalos de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
- Estimación puntual y estimación por intervalos. . . . . . . . . 363
- Estimación puntual............................................. .... 364
- Estimación por intervalo y nivel de confianza........ 364
- Intervalos de confianza para la media de una distribución normal, cuya varianza es conocida. . . . . . . . . 364
- El proceso de cálculo es como sigue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
- Intervalo de confianza para la media de una distribución normal, con varianza desconocida. . . . . . . . . 369
- Intervalo de confianza para la varianza de la distribución normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
- Problemas propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
Bibliografía consultada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
- Anexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
- La transformación de Laplace y función gamma. . . . . . . 383
- Justificación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
- La transformada de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
- Definición ............................................................. 383
- Notación ............................................................... 384
- La transformación inversa de Laplace .................. 384
- Integral impropia ......................................................... 385
- Ejemplos de la evaluación de la transformada de Laplace. ................................... 385
- Fórmulas elementales ........................................... 389
- Propiedades de la transformada de Laplace .......... 389
- Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
- Función gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
- Definición .............................................................. 400
- Propiedades .......................................................... 401
- Evaluación ............................................................ 402
- Representación gráfica ......................................... 404
- Ejercicios propuestos .................................................. 409
- Funciones trigonométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
Otras publicaciones del autor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
