Este libro presenta una selección de problemas y ejercicios diseñados conforme a los programas de Cálculo Diferencial e Integral de diversas universidades en Costa Rica. Con un total de 1899 ejercicios, abarca una amplia gama de temas del curso, incluyendo modelos de exámenes resueltos y propuestos para ofrecer una perspectiva sobre su nivel de dificultad. Los ejercicios están clasificados por tópicos, permitiendo que el estudiante avance gradualmente en su comprensión y dominio de cada tema, y aunque no son particularmente difíciles, están diseñados para evaluar adecuadamente el conocimiento del estudiante.
En el presente libro, los problemas y ejercicios se han escogido tomando como base los programas de Cálculo Diferencial e Integral de varias universidades costarricenses.
Contiene exactamente 1899 ejercicios, que proporcionan material suficiente para un adecuado manejo de los diferentes temas que conforman el curso. Se ofrece además algunos modelos de exámenes resueltos y propuestos con la finalidad de dar al estudiante una idea de la dificultad de estos.
Se han tratado de clasificar los ejercicios en cada tópico de manera que el estudiante avance una vez que maneje apropiadamente el tema. Los ejercicios en general no son difíciles, pero sí se han incluido todos aquellos que permiten una adecuada evaluación de los conocimientos del estudiante.
1 Límites y continuidad................................ 13
1.1 Límites......................... 13
1.2 Límites unilaterales.................. 21
1.3 Límites trigonométricos................ 25
1.4 Límites infinitos.................... 27
1.5 Límites al infinito................... 29
1.6 Asíntotas ....................... 35
1.7 Continuidad...................... 41
1.7.1 Teorema del valor máximo . . . . . . . . . . 48
1.7.2 Teorema del valor intermedio . . . . . . . . 49
2 Derivadas y aplicaciones ............................. 57
2.1 Derivación por definición............... 57
2.2 Derivación por fórmula................ 63
2.2.1 Derivadas inmediatas............. 66
2.2.2 Derivadas de sumas.............. 67
2.2.3 Derivadas de productos............ 70
2.2.4 Derivadas de cocientes ............ 73
2.2.5 Regla de la cadena .............. 77
2.3 Derivadas de logaritmos ............... 83 9
2.4 Derivación logarítmica ................ 86
2.5 Derivadas de orden superior ............. 89
2.6 Derivadas puntuales ................. 91
2.7 Derivación implícita.................. 91
2.8 Derivación implícita de orden superior . . . . . . . 94
2.9 Rectas tangente y normal .............. 97
2.10 Tangentes verticales y horizontales . . . . . . . . . 99
2.11 Problemas de velocidad y aceleración . . . . . . . . 102
2.12 Razones relacionadas................. 106
2.13 Criterio de la primera derivada . . . . . . . . . . . 109
2.14 Segunda derivada y concavidad . . . . . . . . . . . 115
2.15 Criterio de la segunda derivada . . . . . . . . . . . 122
2.16 Construcción de gráficas ............... 124
2.17 Extremos en un intervalo............... 152
2.18 Teorema de Rolle ................... 158
2.19 Teorema del Valor Medio............... 160
2.20 Problemas de máximos y mínimos. . . . . . . . . . 163
2.21Diferenciales...................... 171
2.22 Regla de L'Hopital .................. 177
2.23 Sucesiones....................... 182
2.24 Derivación numérica ................. 188
3 Integral indefinida .................................... 189
3.1 Integrales inmediatas................. 191
3.2 Integración por sustitución.............. 196
3.3 Integración por partes ................ 203
3.4 Integración de trigonométricas . . . . . . . . . .
3.5 Trigonométricas inversas e integración . . . . .
3.6 Integración por sustitución trigonométricas . . .
3.7 Integración de funciones racionales . . . . . . .
3.7.1 Separación en fracciones parciales . . . .
3.7.2 Integració n por fracciones parciales . . .
3.8 Integrando funciones racionales de sen μ y cos μ
4 Integral definida y aplicaciones...................... 259
4.1 Notación sigma .................... 259
4.2 Area y sumas aproximantes ............. 265
4.3 Integraldefinida.................... 267
4.3.1 Integrales inmediatas............. 268
4.3.2 Usando sustitución .............. 270
4.3.3 Usando el método de partes . . . .
4.3.4 Usando trigonométricas inversas . .
4.3.5 Usando potencias trigonométricas
4.3.6 Usando sustitución trigonométrica .
4.3.7 Usando fracciones parciales . . . .
4.3.8 Usando z=tan ............. 280
4.3.9 Integrales definidas con valor absoluto . . . 281
4.3.10 Problemas misceláneos ............ 283
4.4 Teorema del valor medio para integrales . . . . . . 284
4.5 Segundo teorema fundamental del cálculo . . . . . . 288
4.6 Area entre curvas................... 290
4.7 Sólidos de revolución ................. 297
4.8 Integrales impropias ................. 302
4.9 Integración numérica ................. 309
5 Introducción a ecuaciones diferenciales............. 315
5.1 Conceptos fundamentales............... 315
5.2 Ecuaciones diferenciales separables . . . . . . . . . 320
5.3 Ecuaciones diferenciales homogéneas . . . . . . . . 322
5.4 Derivadas parciales y diferenciales totales . . . . . . 325
5.5 Integración parcial .................. 328
5.6 Ecuaciones diferenciales exactas . . . . . . . . . . . 329
5.7 Ecuaciones diferenciales hechas exactas . . . . . . . 334
5.8 Ecuaciones diferenciales lineales de orden 1 . . . . . 338
5.9 Ecuaciones de orden superior fáciles . . . . . . . . . 339
5.10 Ecuaciones diferenciales misceláneas . . . . . . . . . 341
5.11 Ecuaciones lineales de orden superior . . . . . . . . 344
6 Modelos de exámenes ................................ 345
6.1 Primer examen parcial:UCR-1 ........... 345
6.1.1 Solución del primer examen parcial: UCR-1 347
6.2 Primer examen parcial:UCR-2 ........... 352
6.3 Primer examen parcial:ITCR............ 354
6.4 Primer examen parcial:UIA............. 355
6.5 Segundo examen parcial: UCR-1 . . . . . . . . . . 356
6.5.1 Solución del segundo examen parcial: UCR-1 358
6.6 Segundo examen parcial: UCR-2 . . . . . . . . . . 363
6.7 Segundo examen parcial:ITCR ........... 365
6.8 Segundo examen parcial:UIA ............ 367
6.9 Tercer examen parcial: UCR-1. . . . . . . . . . . . 368
6.9.1 Solución del tercer examen parcial: UCR-1 . 369
6.10 Tercer examen parcial: UCR-2. . . . . . . . . . . . 372
6.11 Tercer examen parcial:ITCR ............ 374
6.12 Tercer examen parcial:UIA ............. 375
6.13 Examen último chance: UCR-1 . . . . . . . . . . 376
6.13.1 Solución del examen último chance: UCR-1 377
6.14 Examen último chance: UCR-2 . . . . . . . . . . 384
6.15 Examen último chance": ITCR. . . . . . . . . . . 385
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