Esta obra está diseñada para quienes se están iniciando en el estudio de la teoría de las ecuaciones diferenciales y ya tienen conocimientos en cálculo diferencial e integral. Presenta los conceptos y métodos de manera clara y sencilla, sin comprometer la rigurosidad matemática necesaria. Utiliza ejemplos prácticos y teóricos para ilustrar definiciones, propiedades y teoremas, con el objetivo de facilitar la comprensión de los conceptos subyacentes para los estudiantes.
Esta obra está dirigida a todas aquellas personas que inician el estudio de la teoría de las ecuaciones diferenciales y han llevado un curso de cálculo diferencial e integral. La exposición de los conceptos y métodos se hace de una forma sencilla y clara, sin perjuicio de la rigurosidad matemática requerida.
Las definiciones, propiedades y teoremas se ilustran con ejemplos de carácter práctico y teórico, de manera que el estudiante pueda comprender los conceptos que les subyacen.
Presentación 17
1 Conceptos básicos 19
1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 ¿Qué es una ecuación diferencial? . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Solución de una ecuación diferencial . . . . . . . . . . . . . . 28
1.4 Derivación de una ecuación diferencial . . . . . . . . . . . . . 40
1.5 Problemas de valor inicial y de frontera . . . . . . . . . . . . 44
1.6 Existencia y unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.7 Soluciones singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.8 Campo de direcciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.9 Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 69
2.1 Ecuaciones en variables separadas . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2 Ecuaciones diferenciales homogéneas . . . . . . . . . . . . . 73
2.3 Ecuaciones diferenciales exactas . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.4 Factor integrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.5 Ecuación lineal de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8 Contenido
2.6 Ecuación de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.7 Reducción de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.7.1 Ausencia de la variable dependiente . . . . . . . . . . 101
2.7.2 Ausencia de la variable independiente . . . . . . . . . 102
2.8 Ecuaci´on de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3 Aplicaciones de las ecuaciones de primer orden 109
3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.2 Movimiento de una partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.3 Circuitos eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.3.1 Circuitos eléctricos L-R . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.3.2 Circuitos eléctricos C-R . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.4 Mezclas químicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.5 Reacciones químicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.6 Problemas de crecimiento y decrecimiento . . . . . . . . . . . 134
3.6.1 Población . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.6.2 Desintegración radiactiva . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.6.3 Determinación de la edad de un objeto . . . . . . . . . 137
3.6.4 Enfriamiento de un objeto . . . . . . . . . . . . . . . 139
4 Ecuaciones diferenciales lineales de orden n 145
4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.2 Independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.3 Ecuaciones Diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.4 Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas . . . . . . 167
4.4.1 Coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . 168
4.4.2 Variación de parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.5 Ecuación diferencial de Cauchy-Euler . . . . . . . . . . . . . 183
4.6 Operadores Diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5 Movimiento vibratorio 207
5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.2 Movimiento armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.3 Movimiento amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
5.4 Movimiento forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.5 Resonancia mecánica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
6 Transformada de Laplace 225
6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
6.2 Propiedades de la Transformada de Laplace . . . . . . . . . . 231
6.3 La transformada inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . 243
6.4 Teoremas de traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6.4.1 Función escalón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6.5 Convolución y transformadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
6.6 Funciones periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
6.7 Función impulso unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
6.8 Función Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
7 Aplicaciones y transformada de Laplace 293
7.1 Solución de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . 293
7.2 Sistemas mecánicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
7.3 Ecuaciones Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
7.4 Circuitos L-R-C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
7.5 Sistemas de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . 305
8 Solución mediante series de potencias 313
8.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
8.2 Método de los coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . 314
Enseñanza universitaria o superior
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