Es un libro dirigida a estudiosos, investigadores y profesionales de matemáticas, computación e ingeniería interesados en la teoría que explica eventos aleatorios. Sin embargo, partes del texto pueden ser útiles también para estudiantes de olimpiadas matemáticas y otras disciplinas universitarias. Los apéndices ofrecen un repaso de los conceptos necesarios para comprender la teoría de probabilidades. La obra combina rigurosidad matemática con intuición, fruto de la experiencia del autor impartiendo cursos sobre probabilidades. Introduce conceptos como esquemas de casos y etapas, útiles para resolver problemas de conteo, y la probabilidad frecuencial. Cada sección finaliza con ejercicios que requieren una breve justificación. Esta segunda edición presenta un desarrollo teórico reforzado, con explicaciones más detalladas, y se han agregado más ejemplos y ejercicios.
Comprendiendo las probabilidades está dirigida a estudiosos, investigadores y profesionales de la matemática, computación e ingenierías, quienes desean conocer la teoría que explica las experiencias en las cuales interviene el azar. Sin embargo, con excepción de algunos desarrollos teóricos, ciertas partes del texto pueden ser utilizadas por estudiantes de olimpiadas matemáticas y de otras carreras universitarias. Asimismo, en los apéndices se brinda un breve repaso sobre los tópicos necesarios para el estudio de la teoría de probabilidades.
La obra realiza una combinación adecuada entre la rigurosidad matemática y la intuición, fruto de la experiencia adquirida por el autor durante años de impartir cursos sobre probabilidades y desarrollar propuestas de enseñanza sobre el tema. También se introducen conceptos como los esquemas de casos y etapas, que permiten enfrentar con éxito ciertos problemas de conteo, y la probabilidad frecuencial, que respalda la idea general de probabilidad. Además, al final de cada apartado se presenta una serie de ejercicios que, en su mayoría, tienen una breve respuesta que el lector debe justificar.
Esta segunda edición presenta un desarrollo teórico fortalecido con algunas explicaciones más detalladas y mejoradas. Además, en esta edición se agregaron más ejemplos y ejercicios.
I Introducción al análisis combinatorio 17
1 Introducción 19
2 Fundamentos y principios elementales del conteo 20
2.1 Definiciones y teoremas básicos del análisis combinatorio . . . . . 20
2.2 Los principios elementales de conteo . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3 Conteo de permutaciones, arreglos y combinaciones 39
3.1 Conteo de permutaciones de objetos distintos . . . . . . . . . . . 39
3.2 Conteo de arreglos tomados de objetos distintos . . . . . . . . . . 42
3.3 Conteo de combinaciones de objetos distintos . . . . . . . . . . . 43
3.4 Mezcla de las técnicas de conteo vistas . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4 Otras técnicas de conteo 59
4.1 Cardinalidad del conjunto de funciones . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Cardinalidad del conjunto potencia y el binomio de Newton . . . 61
4.3 Conteo de permutaciones con objetos repetidos . . . . . . . . . . 65
4.4 Conteo de combinaciones con repetición . . . . . . . . . . . . . . 68
4.5 Conteo de distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5.1 Distribuciones de objetos distinguibles . . . . . . . . . . . 71
4.5.2 Distribuciones de objetos no distinguibles . . . . . . . . . 74
4.6 Más ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5 Ejercicios finales 92
10 Contenido
II Teoría elemental de probabilidades 103
1 Introducción 105
2 Conceptos básicos 107
3 Probabilidad frecuencial 110
3.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4 (♣) Espacio de probabilidad 124
4.1 σ-álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.2 Medida de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5 Algunos espacios de probabilidad importantes 131
5.1 (♣) Espacios finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2 Ley de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.3 (♣) Espacios infinitos numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.4 Espacios medibles equiprobables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6 Probabilidad condicional y eventos independientes 169
6.1 Concepto de independencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.2 Probabilidad condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.3 Resultados sobre la independencia de eventos . . . . . . . . . . . 174
6.4 Reglas del producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7 Probabilidad total y regla de Bayes 185
7.1 Probabilidad total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.2 Regla de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8 Ejercicios finales 197
III Variables aleatorias discretas 205
1 Teoría y definiciones 207
1.1 Distribución de probabilidad simple y acumulada . . . . . . . . . 207
1.2 Simulación para variables aleatorias discretas . . . . . . . . . . . 220
1.3 Parámetros de distribuciones discretas . . . . . . . . . . . . . . . 224
Giovanni Sanabria Brenes 11
1.3.1 Esperanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
1.3.2 Variancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
1.4 (♣) Distribución condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
1.5 Función generadora de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
1.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
2 Distribuciones de variables discretas importantes 254
2.1 Distribuciones modeladas con urnas . . . . . . . . . . . . . . . . 254
2.1.1 Distribución binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
2.1.2 Distribución geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
2.1.3 Distribución hipergeométrica . . . . . . . . . . . . . . . . 268
2.2 Distribución de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
2.3 Parámetros de las distribuciones discretas estudiadas . . . . . . . 279
2.4 Relación entre las distribuciones discretas estudiadas . . . . . . . 285
2.4.1 Hipergeométrica y binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
2.4.2 Binomial y de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
2.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
3 Otras distribuciones 298
3.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
4 Ejercicios finales 306
IV Variables aleatorias continuas 317
1 Teoría y definiciones 319
1.1 Función de densidad y distribución acumulada . . . . . . . . . . 319
1.2 Simulación de variables continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
1.3 Esperanza y variancia para distribuciones continuas . . . . . . . 331
1.4 Función generadora de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
1.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
2 Distribuciones continuas importantes 349
2.1 Distribución uniforme continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
2.2 Distribución exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
2.3 Distribución normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
2.3.1 Definición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
2.3.2 Distribución normal estándar . . . . . . . . . . . . . . . . 362
2.3.3 Aplicaciones de la distribución normal . . . . . . . . . . . 367
2.4 Distribución gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
2.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
12 Contenido
3 (♣) Otras distribuciones continuas 387
3.1 Distribución de una función de una variable aleatoria . . . . . . . 387
3.2 Distribución condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
3.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
4 Ejercicios finales 395
V (♣) Distribución de probabilidad conjunta 401
1 Distribución conjunta para variables discretas 403
1.1 Definición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
1.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
2 Distribución conjunta para variables continuas 412
2.1 Definición y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
2.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
3 Otros temas ligados a la distribución conjunta 423
3.1 Esperanza condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
3.2 De nuevo: Generadora de momentos . . . . . . . . . . . . . . . . 428
3.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
4 Ejercicios finales 434
VI Teorema del límite central 439
1 Desigualdades y convergencia 441
1.1 Desigualdades de Chebyshev y Markov . . . . . . . . . . . . . . . 441
1.2 (♣) Lema de Borel Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
1.3 La ley de los grandes números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
1.4 Suma y promedio de variables que siguen
una distribución normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
1.5 Teorema del límite central (TLC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
1.6 Aproximación a la binomial por medio de la normal . . . . . . . 460
1.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
2 Introducción a la estadística inferencial 469
2.1 Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
2.2 Distribución muestral de X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
2.3 (♣) Muestreo aleatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
Giovanni Sanabria Brenes 13
2.3.1 Muestreo simple al azar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
2.3.2 Muestreo sistemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
2.3.3 Otros tipos de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
2.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
3 Ejercicios finales 491
VII Apéndices 497
A Repaso de teoría de conjuntos 499
A.1 Definición de conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
A.1.1 El axioma de abstracción y la paradoja de Russell . . . . 499
A.1.2 Notación de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
A.1.3 (♣) Axioma de separación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
A.2 Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
A.2.1 La unión, intersección, diferencia y
diferencia simétrica de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . 505
A.2.2 El complemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
A.2.3 El conjunto potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
A.2.4 Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
A.3 Algunas definiciones importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
A.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
B Repaso de funciones 513
B.1 Concepto de función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
B.2 Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas . . . . . . . . . . 515
B.3 Monotonía de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
B.4 La función factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
B.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
C Repaso de sumas y series 523
C.1 Notación de suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
C.2 Propiedades de la notación de suma . . . . . . . . . . . . . . . . 524
C.3 Algunas sumas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
C.4 Concepto de serie numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
C.5 Series importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
C.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
14 Contenido
D Repaso de derivación 532
D.1 Definición de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
D.2 Propiedades de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
D.3 Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
D.4 Regla de L’ Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
D.5 Derivación logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
D.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
E Repaso de integración 544
E.1 La antiderivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
E.2 Integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
E.3 Métodos de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
E.3.1 Método de sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
E.3.2 Método de integración por partes . . . . . . . . . . . . . . 551
E.4 Definición intuitiva de integral definida . . . . . . . . . . . . . . . 553
E.5 Teorema fundamental del cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
E.6 Integración impropia en [a,+∞[, ]−∞, b], ]−∞,+∞[ . . . . . . . 560
E.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564
F Tablas de distribuciones 567
Bibliografía 573
General / "Trade"
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