La obra se centra en proporcionar una comprensión integral de una variedad de métodos de aproximación utilizados en problemas matemáticos, dirigida especialmente a estudiantes universitarios interesados en métodos numéricos tanto desde un enfoque teórico como práctico. El objetivo es equilibrar la teoría formal de estos métodos con su aplicación práctica, explicando tanto el fundamento teórico como su implementación en problemas concretos. Además, se incluyen ejercicios con respuestas y soluciones parciales en el apéndice B, lo que permite al lector obtener retroalimentación durante su estudio.
La presente obra está dirigida a las personas que desean conocer, estudiar y profundizar una variedad de métodos de aproximación a diversos problemas matemáticos. Está especialmente orientada a estudiantes universitarios con interés en abordar los temas clásicos de métodos numéricos, desde un punto de vista teórico y práctico.
De esta manera, se pretende establecer un balance entre la teoría formal de los métodos numéricos y su contraparte práctica, al tratar de fundamentar el funcionamiento de los métodos de aproximación y su lógica intrínseca. Así, para cada uno de los ejemplos se brinda la formalidad de la teoría y su puesta en práctica en problemas concretos.
Durante el desarrollo de la obra se proponen ejercicios cuya respuesta, así como soluciones parciales o recomendaciones de estas, pueden consultarse en el apéndice B. Por lo tanto, el lector podrá encontrar un cierto grado de retroalimentación durante su estudio.
Presentación 15
1. Introducción y conocimientos previos 19
1.1. Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2. Computadoras y programas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1. Computadoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2. Programa informático y usuario . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.3. Lenguajes de programación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.4. Algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.5. Programación estructurada o secuencial . . . . . . . . . . . 24
1.2.6. Programación orientada a eventos . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3. Aproximaciones, errores de redondeo y error de truncamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.1. Error absoluto y error relativo . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4. Notación científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5. Cifras significativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6. Notación punto flotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6.1. Punto flotante de un número por corte o redondeo . . . . . 33
1.6.2. Error de redondeo y error de corte . . . . . . . . . . . . . . 35
1.7. Dígitos significativos, precisión y exactitud . . . . . . . . . . . . . . 37
1.8. Aritmética de punto flotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.9. Preliminares matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.9.1. Funciones continuas y acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.9.2. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.9.3. Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.9.4. Convergencia y divergencia de series . . . . . . . . . . . . . 55
1.9.5. Series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.9.6. Serie de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.9.7. Aproximación de derivadas e integrales . . . . . . . . . . . . 69
1.9.8. Resto de una serie de potencias y cota del error . . . . . . . 71
1.10. Rapidez de convergencia (O de Landau) . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.11. Ejercicios del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2. Ra´ıces de ecuaciones 77
2.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.2. Método gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.3. Método de bisección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.3.1. Cota del error y método de paro . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.3.2. Ventajas y desventajas del método de bisección . . . . . . . 89
2.3.3. El método de bisección en Excel . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.4. Método de la secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.4.1. Método de paro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.4.2. Ventajas y desventajas del método de la secante . . . . . . 102
2.4.3. El método de la secante en Excel . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.5. Método de la falsa posición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.5.1. Ventajas y desventajas del método de la falsa posición . . . 109
2.5.2. Método de la falsa posición modificado . . . . . . . . . . . . 110
2.6. Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.6.1. Deducción de la fórmula recurrente . . . . . . . . . . . . . . 113
2.6.2. Ventajas y desventajas del método de Newton-Raphson . . 114
2.6.3. Implementación de método Newton-Raphson . . . . . . . . 116
2.7. Método del punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.7.1. Aproximación de puntos fijos . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.7.2. Convergencia del algoritmo del punto fijo . . . . . . . . . . 129
2.7.3. Implementación de método del punto fijo . . . . . . . . . . 135
2.8. Análisis de la convergencia de los métodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.8.1. Análisis de método de bisección . . . . . . . . . . . . . . . . 142
2.8.2. Análisis del método de la secante . . . . . . . . . . . . . . . 142
2.8.3. Análisis del método del punto fijo . . . . . . . . . . . . . . 145
2.8.4. Análisis del método Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . 151
2.9. Ejercicios del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3. Sistemas de ecuaciones 163
3.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.2. Resolución de sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.2.1. Método gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.2.2. Métodos algebraicos clásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.3. Eliminación de Gauss simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
3.3.1. Eliminación de Gauss y las matrices elementales . . . . . . 190
3.3.2. Implementación en lenguaje V.B. . . . . . . . . . . . . . . . 197
3.3.3. Limitaciones del método de eliminación . . . . . . . . . . . 198
3.3.4. Pivoteo parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
3.4. Descomposición LU de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3.4.1. Método de factorización LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
3.4.2. Implementación de la factorización LU . . . . . . . . . . . . 213
3.4.3. Descomposición PTLU de una matriz . . . . . . . . . . . . 214
3.4.4. Resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la descomposición LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
3.4.5. Inversos de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
3.5. Error y condicionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
3.5.1. Uso de las matrices inversas para el estudio del condicionamiento de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . 225
3.5.2. Número de condición de una matriz . . . . . . . . . . . . . 226
3.5.3. Escogencia de una precisión de acuerdo con el nivel de mal condicionamiento de la matriz . . . . . . . . . 230
3.6. Métodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
3.6.1. Método de paro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
3.6.2. Método de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
3.6.3. Métodos de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
3.7. Resolución de sistemas no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
3.7.1. Representación de un sistema no lineal como una función de Rn en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
3.7.2. Método de punto fijo para funciones de Rn en Rn . . . . . 249
3.7.3. Método de Newton-Raphson para funciones de Rn en Rn . 254
3.8. Ejercicios del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
4. Interpolación numérica y regresión lineal 263
4.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
4.2. El proceso de interpolación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
4.3. Diferencias divididas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
4.3.1. Interpolación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
4.3.2. Interpolación cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
4.3.3. Interpolación polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
4.3.4. Error cometido para el polinomio interpolante de Newton por diferencias divididas . . . . . . . . . . . . . 279
4.3.5. Implementación de la interpolación de Newton mediante diferencias divididas . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
4.4. Polinomio de interpolación de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . 290
4.4.1. Interpolación lineal de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . 291
4.4.2. Interpolación cuadrática de Lagrange . . . . . . . . . . . . . 292
4.4.3. Interpolación polinomial de grado mayor que 2 mediante Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
4.4.4. Implementación de la interpolación de Lagrange . . . . . . 297
4.5. Polinomio osculante e interpolación de Hermite . . . . . . . . . . . 298
4.6. Regresión lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
4.6.1. Método de mínimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . 308
4.6.2. Calidad de la representación R2 . . . . . . . . . . . . . . . . 311
4.6.3. Implementación de la regresión lineal . . . . . . . . . . . . . 312
4.6.4. Linealización de datos para regresión . . . . . . . . . . . . . 313
4.7. Ejercicios del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
5. Derivación e integración numérica 325
5.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
5.2. Derivación numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
5.2.1. Cálculo del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
5.2.2. Fórmulas de diferencias divididas finitas con más de dos puntos para f´ . . . . . . . . . . . . . . . . 330
5.2.3. Fórmulas de diferencias divididas finitas con más de dos puntos para f´´ . . . . . . . . . . . . . . . . 334
5.3. Integración numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
5.3.1. Método de integración de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . 342
5.4. Cuadratura gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
5.4.1. Fórmula de Gauss-Legendre de dos puntos (mejora de la regla del trapecio) . . . . . . . . . . . . . . . 363
5.4.2. Fórmula de Gauss-Legendre con n puntos . . . . . . . . . . 367
5.5. Ejercicios del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
6. Solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias 375
6.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
6.2. Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) . . . . . . . . . . . . . . 375
6.2.1. Solución de una EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
6.2.2. Problema de valor inicial y valor frontera . . . . . . . . . . 381
6.3. Métodos de un paso para EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
6.3.1. Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
6.3.2. Métodos de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
6.3.3. Método de Euler mejorado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
6.3.4. Métodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
6.4. Métodos de pasos múltiples para EDO . . . . . . . . . . . . . . . . 405
6.4.1. Métodos de Adams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
A. Programación e introducción a Excel 423
A.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
14 Contenido
A.2. Introducción a Visual Basic para Excel . . . . . . . . . . . . . . . . 423
A.2.1. El ambiente de programación en Excel . . . . . . . . . . . . 424
A.2.2. Controles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
A.2.3. Ingreso de datos en VB para Excel . . . . . . . . . . . . . . 428
A.2.4. Variables en el lenguaje Visual Basic de Excel . . . . . . . . 431
A.2.5. Condicionales y la toma de decisiones . . . . . . . . . . . . 434
A.2.6. Bucle o ciclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
A.2.7. Introducción a las funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
A.2.8. Arreglos en Visual Basic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
A.3. Depuración de un programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
A.3.1. Corridas paso a paso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
A.3.2. Monitoreo de variable durante la ejecución . . . . . . . . . 447
B. Respuesta de los ejercicios propuestos 451
B.1. Soluciones del capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
B.2. Soluciones del capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
B.3. Soluciones del capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
B.4. Soluciones del capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
B.5. Soluciones del capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
B.6. Soluciones del capítulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
Bibliografía 497
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